Основы алгебры — В учебнике систематически излагаются основные понятия алгебры - от элементарных, с которых начинается ее изучение, до не очень простых, включающих теорию полиномиальных уравнений, которая необходима, в частности, для понимания свойств тензорных разложений многомерной матрицы. Каких-либо специальных знаний, кроме школьной программы, от читателя не требуется.
Книга будет интересна широкому кругу студентов, изучающих математику и ее приложения, а также аспирантам и специалистам, желающим углубить свои знания.

Название: Основы алгебры
Автор: Тыртышников Е. Е.
Издательство: Физматлит
Год: 2017
Страниц: 466
Формат: PDF
Размер: 45,13 МБ
Качество: Отличное

Содержание:

Предисловие
Введение
Предмет алгебры
Арифметические векторы
Линейная зависимость и независимость
Подстановки и перестановки
Определитель и формулы Крамера
Теорема Лапласа
Операции с матрицами
Обратная матрица
Формула Бине-Коши
О Ранг матрицы
Однородные системы
Скалярное и векторное произведения
Кривые второго порядка
Ступенчатые матрицы и треугольные разложения
Алгоритмы и оценки сложности вычислений
Комплексные числа и комплексные матрицы
Что нужно знать о группах
Определение группы
Избыточность в определении группы
Аддитивные и мультипликативные группы
Изоморфизмы групп
Группа корней п-й степени из единицы
Группы и подгруппы
Смежные классы и нормальные подгруппы
Циклические группы
Действие группы на множестве
Группа движений
Группа дробно-линейных преобразований комплексной плоскости
Гомоморфизмы групп
Теорема Кэли о конечных группах
Конечно порожденные абелевы группы
Кольца, поля, многочлены
Определения кольца и поля
Поле вычетов
Кольцо многочленов
Деление с остатком и алгоритм Евклида
Разложение на неприводимые множители
Многочлены с целыми коэффициентами
Круговые многочлены
Поле частных
Многочлены от нескольких переменных
Матрица Сильвестра и результант
Симметрические многочлены
Линейные пространства, поля и их расширения
Линейные пространства и подпространства
Базисы и размерность
Конечные и алгебраические расширения полей
Присоединение корня
Поле разложения
Производная многочлена и кратные корни
Неприводимость круговых многочленов
Малая теорема Веддерберна
Конечные поля
Мультипликативная группа конечного поля
Расширения полей в геометрии
Основная теорема алгебры
Линейные операторы
Определение линейного оператора
Операторы и матрицы
Характеристический многочлен
Матричные многочлены и подобие
Собственные значения и собственные векторы
Теорема Шура и нормальные матрицы
Сингулярное разложение
Инвариантные пространства и прямая сумма операторов
Нильпотентные операторы и корневое разложение
О Пространства Крылова и максимальное расщепление
Жорданова форма
Блочная жорданова форма вещественной матрицы
Вычисление минимального многочлена
Резольвенты Лагранжа
Нормы и неравенства
Расстояния, нормы, длины
Сходимость, полнота, пополнение
Ограниченность, замкнутость, компактность
Нормы линейных операторов
Выпуклые множества и выпуклые функции
Неравенства Гёльдера и Минковского
Наилучшие приближения на выпуклых множествах
Разделяющие и опорные гиперплоскости
Продолжение линейных функционалов
Системы линейных неравенств
Грани полиэдра и выпуклые многогранники
Сопряженный оператор и нормальные операторы
Собственные значения эрмитовых матриц
Конгруэнтность и закон инерции
Мажоризация и двоякостохастические матрицы
Унитарно инвариантные нормы
Группы, поля, уравнения
Линейная независимость автоморфизмов поля
Неподвижные поля и группы автоморфизмов
Группы Галуа и поля разложения
Вычисление группы Галуа
Теория Галуа
Примитивные расширения
Циклические и радикальные расширения
Полициклические расширения
Теорема Абеля-Галуа
О Казус Руффини
Концептуальный вывод основной теоремы алгебры
Теорема Силова
Кольца и идеалы
Идеалы и вычеты
Идеалы и модули
Радикалы и нильпотенты
Простые и примарные идеалы
Кольца частных, расширения и сужения идеалов
Максимальные идеалы и локальные кольца
Упорядоченные множества
Неконструктивные построения
Алгебраическое замыкание поля
Алгебраическая зависимость и независимость
Целая алгебраическая зависимость ,
Дифференцирования в кольцах и полях
Теорема Гильберта о базисе
Деление с остатком и базисы Грёбнера
Критерий Бухбергера
Алгебраические многообразия
Множества нулей и аннуляторы
Условие совместности
Теорема Нётер о нормализации
Теорема Гильберта о нулях
Неприводимые многообразия
Координатные кольца и полиномиальные отображения
Рациональные отображения
Проекции многообразия
Конструктивные множества
Размерность и степень
Размерность собственного подмногообразия
Размерность многообразия и ранг матрицы Якоби
Размерность пересечения многообразий
Комплексные многообразия
Подготовительная теорема Вейерштрасса
Применение теорем о неявной функции
Главные тензорные ранги трехмерных матриц
Список литературы
Предметный указатель